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上传时间:2013-02-18 来源:福建省平潭综合实验区

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综 合 实 验 姓名:沈蓉蓉 班级:11 级数学三班 学号:201171010334 综合实验 一、实验目的 函数是数学学科中很重要的一个知识, 本实验的目的首先是熟悉基本初等函 数的图形,认识图形与图形之间的关系,以及会拟合函数图像,再通过函数图像 观察函数极限; 其次函数的迭代是数学研究中的一个非常重要的思想工具,本实 验首先将探讨迭代在方程求解中的应用。通过编程演示利用迭代求解方程(组) 的近似解, 深刻了解其求解过程。其次以迭代的观点介绍分形的基本特性以及生 成分形图形的基本方法, 同时对分形几何这门学科有一个直观的了解。还可以通 过上机来增强自己的动手能力及实践创新能力。 二、实验内容和步骤 (一)函数图像及极限 实验 1 ? 3.07027 Sinx的函数图 (1) 输入 Mathmatica 程序代码,作出函数 y ? 0.0482789 像。 (2)已知函数在自变量 x ? 1,2,?,10上数据为 ?2.89229 ? ,2.86323 ,0.473147 ,?2.25209 ,?2.87003 ,?0.835768 ,1.97187 ,2.96841 ,1.23648 ,?1.63202 试用合适的函数进行拟合。

解 执行线性模型拟合程序后,在输入的两个窗口中按提示分别输入 ?1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10? ?2.89229 ? ,2.86323 ,0.473147 ,?2.25209 ,?2.87003 ,?0.835768 ,1.97187 ,2.96841 ,1.23648 ,?1.63202 每次输入后单击窗口的“OK”按钮,得到如下散点图。 由于该散点图具有类似正弦曲线的形状,因此在确定拟合基函数窗口输入 “? 1,Sin?x??” ,按“OK”按钮,得到如下结果: 于是得到了很好的拟合函数 ? ?x? ? 0.0482789 ? 3.07027 Sinx . 与(1)比较, (1)是直接给出函数作函数图像, (2)则是通过给出函数中的几 个对应坐标,再拟合出函数图像。

实验 2 储户在银行存钱,银行要给储户利息。如果年利率一定,但银行可以在一年 内多次付给储户利息,比如按月付息、按天付息等。某储户将 1000 美元存入银 行,年利率为 5%,如果银行允许储户在一年内可任意次结算,在不计利息税的 情况下,若储户等间隔的结算 n 次,每次结算后将本金全部存入银行。问:

(1)随着结算次数的增加,一年后该储户的本息和是否也在增多? (2)随着结算次数的无限增加,一年后该储户在银行的存款是否会无限变大? 解 (1)问题分析 若该储户每月结算一次,则每月利率为 0.05/12,故第一个月后,储户本 ? 0.05 ? ? 0.05 ? 息共计 1000 ?1 ? ? ,第二个月后,储户本息共计 1000 ?1 ? ? , ? ,则一年 12 ? 12 ? ? ? 2 ? 0.05 ? 后,储户本息共计 1000 ?1 ? ? . 12 ? ? 若该储户每天结算一次,则每天利率为 0.05/365,故第一天后,储户本息 ? 0.05 ? ? 0.05 ? 共计 1000 ?1 ? ? ,第二天后,储户本息共计 1000 ?1 ? ? , ? ,则一年后, ? 365 ? ? 365 ? 2 12 ? 0.05 ? 储户本息共计 1000 ?1 ? ? ? 365 ? 365 . 一般的,若该储户等间隔的结算 n 次,则一年后,储户本息共计 ? 0.05 ? 1000 ?1 ? ? . 随 着 结 算 次 数 的 无限 增 加 , 有 n ? ? , 故 一 年后 本 息 共 计 n ? ? ? 0.05 ? lim1000 ?1 ? ? .于是,可以得到如果储户等间隔的结算 n 次一年后本息共计 n?? n ? ? ? 0.05 ? 的一个函数 s?n? ? 1000 ?1 ? ? . n ? ? (2)实验步骤 输入如下程序代码,作出 s?n? 的函数图像。 n n n 由实验结果可以看到, 随着结算次数的增多,一年后该储户的本息和也是在 增多的。 计算结果说明,随着结算次数的无限增加,一年后该储户在银行的存款不会 无限变大,该储户一年后本息和最多不超过 1052 美元。

实验结果说明, 只要年利率一定,不管银行采取多么小的时间间隔的付息方 式,都不会导致付息无限增多的结果。

实验 3 ? x? 用 f ?x? ? cos x 2 的函数图形,探索 f ?x ? 的图形与 f ?2 x ? 、 f ? ? 图形之间的关 ?2? 系。

输入如下程序代码,得到如图实验结果(实线表示 f ?x ? ,虚线表示 f ?2 x ? ) : 由实验结果可知, f ?2 x ? 与 f ?x ? 相比较,纵坐标不变,横坐标缩短为原来 1 的 。

2 ? x? 输入如下程序代码,得到如图实验结果(实线表示 f ?x ? ,虚线表示 f ? ? ) :

?2? ? x? 由实验结果可知, f ? ? 与 f ?x ? 相比较,纵坐标不变,横坐标变为原来的 2 ?2? 倍。

实验 4 欣赏三维空间中的图形 (1)马鞍面 (2)三维参数空间曲线 (二)迭代 实验 1 用 Jacobi 迭代法解如下线性方程组: ? 5 x1 ? 2 x2 ? x3 ? ?12 ? ? ? x1 ? 4 x2 ? 2 x3 ? 20 ?2 x ? ?3 x ? 10x ? 3 2 3 ? 1 观察迭代收敛的情况。

解 输入如下 Jacobi 迭代法程序: 799 ? x1 ? ?4.0000457287 ? 163 由实验结果可知,迭代 17 次可求出近似解 ? x2 ? 3.0000805005 ? x ? 2.0000283326 26 ? 3 误差小于 10?4 ,本题的准确解为 x1 ? ?4, x2 ? 3, x3 ? 2. 实验 2 用 Seidel 迭代法解如下线性方程组: ? 5 x1 ? 2 x2 ? x3 ? ?12 ? ? ? x1 ? 4 x2 ? 2 x3 ? 20 ?2 x ? ?3 x ? 10x ? 3 2 3 ? 1 并用取不同初值的方法实验观察迭代收敛的情况。

输入如下 Seidel 迭代法程序: 11807 ? x1 ? ?4.0000001185 ? 04902 由实验结果可知,迭代 11 次可求出近似解 ? x2 ? 3.0000004928 ? x ? 2.0000001715 43872 ? 3 误差小于 10?6 ,本题的准确解为 x1 ? ?4, x2 ? 3, x3 ? 2. 此结果表明,在同样迭代误差和初值条件下,用 Jacobi 迭代需 17 次才获得 误差为 10?4 的解,而 Seidel 迭代只需 11 次便可获得误差为 10?6 的解,这说明, 在都收敛的情况下,Seidel 迭代法比 Jacobi 迭代法收敛快。

如果将上述输入的初值改为 ?21 ?18 30?,执行 Seidel 迭代法程序: 从计算结果可以看到,虽然所取的 初值不同,但迭代总是收敛到相同的 结果。 实验 3 欣赏分形 分析几何学把自然形态看作是具有无言嵌套层次的精细结构, 并且在不同尺 度下保持某种相似的属性, 于是在简单的迭代过程中就可以得到描述复杂的自然 形态的有效方法。

分形的基本特性完全由生成元决定。因此,给定一个生成元,我们就可以生 成各种各样的分形图形。以下是几个经典分形图形程序及其生成元。

用计算机绘出 Koch 雪花曲线,Sierpinski 三角形及树木花草的图形。

(1) Koch 曲线 (2) Koch 雪花曲线 (2)Sierpinski 三角形 (3)树木花草 三、实验结果分析 通过实验,首先对基本初等函数的图形,图形与图形之间的关系有了初步认 识,以及会拟合函数图像,再通过函数图像会观察函数极限;其次对编程演示利 用迭代求解方程(组)的近似解,深刻了解了其求解过程,并且对分形及其应用 有了一定的了解,实验结果良好.

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